Bilangan Kromatik Lokasi Graf Amal(K_n, K_m)

Abstract

Misalkan G=(V,E) graf terhubung dan c adalah suatu pemetaan warna pada graf G yang didefinisikan sebagai c:V(G)→{1,2,…,t}, dengan t bilangan asli. Jika u dan v bertetangga di G, maka c(u)≠c(v). Misalkan S_h adalah himpunan titik yang diberi warna h untuk h∈{1,2,… ,t}, maka S_h disebut kelas warna. Misalkan Π={S_1,S_2,… ,S_t} adalah partisi dari himpunan titik V(G) untuk suatu pewarnaan. Kode warna c_Π (v) untuk titik v di G didefinisikan sebagai t-vektor c_Π (v)=(d(v,S_1 ),d(v,S_2 ),… ,d(v,S_t )), dimana d(v,S_h )=min⁡{d(v,x)|x∈S_h} untuk h∈{1,2,… ,t}. Jika setiap titik di G mempunyai kode warna yang berbeda untuk suatu Π, maka c disebut sebagai pewarnaan lokasi. Minimum t sedemikian sehingga G mempunyai pewarnaan lokasi dengan t warna disebut bilangan kromatik lokasi, dinotasikan sebagai χ_L (G). Pada penelitian ini dibahas tentang bilangan kromatik lokasi graf Amal(K_n,K_m). Graf Amal(K_n,K_m) adalah suatu graf yang diperoleh dengan menggabungkan satu titik di setiap K_n ke setiap titik di K_m secara satu-satu, dengan m,n≥2,m,n ∈N. Dengan menentukan batas bawah dan batas atas bilangan kromatik lokasi, diperoleh bahwa bilangan kromatik lokasi graf Amal(K_n,K_m) adalah n+1 untuk m≤n dan m untuk m>n.