Masalah Invers Pada Homogenisasi Periodik Persamaan Hamilton-Jacobi

Abstract

Persamaan Hamilton-Jacobi muncul dan berkembang dari masalah kontrol optimal pada bidang ekonomi. Eksistensi dan ketunggalan solusi lemah untuk masalah nilai awal persamaan Hamilton-Jacobi telah lama diselidiki dan dibuktikan keberadaannya. Selanjutnya, penelitian terkait persamaan Hamilton-Jacobi berkembang untuk menyelidiki solusi masalah asimptot persamaan Hamilton-Jacobi yang sekarang dikenal dengan homogenisasi periodik persamaan Hamilton-Jacobi. Pada paper ini dibahas masalah invers pada homogenisasi periodik persamaan Hamilton-Jacobi dimensi satu. Masalah invers ini menyelidiki keterkaitan antara Hamiltonian dan effective Hamiltonian yang bersesuaian secara terbalik. Pertama-tama, diberikan Hamiltonian 𝐻𝑖(𝑝,𝑥)=𝐻(𝑝)𝑉𝑖(𝑥),𝑖=1,2. Masing-masing Hamiltonian 𝐻𝑖(𝑥,𝑝) diketahui berkorespondensi dengan effective Hamiltonian 𝐻𝑖̅̅̅ melalui masalah sel (cell problems). Selanjutnya diselidiki keterkaitan antara kedua potensial 𝑉𝑖 jika diketahui kedua effective Hamiltonian yang bersesuaian ekuivalen. Lebih lanjut, diperoleh bahwa jika effective Hamiltonian 𝐻1̅̅̅̅≡ 𝐻2̅̅̅̅ maka 𝑉1 bernilai konstan jika 𝑉2 merupakan fungsi konstan, lebih khususnya 𝑉1≡𝑉2. Selain itu, jika 𝑉1≤𝑉2 dan (𝐻−1)′ merupakan fungsi tak negatif maka 𝑉1≡𝑉2. Kedua hasil tersebut menggambarkan kaitan antara distribusi kedua potensial dengan effective Hamiltoniannya.